Арифметика - огромная область математики, где изучаются числа, приёмы и средства вычислений, исследование операций над числами различной природы, анализ структуры числовых множеств, а также свойства чисел. «Числа с самого начала вводятся на конкретных примерах практической жизни; учащийся достаточно быстро начинает считать монетами, мерами, весами и вопросом «Сколько стоит?», столь важным в повседневной жизни, начинается обыкновенно не малая часть наших школьных задач». [2] Простое перечисление предметов, дискретно расположенных, с которого, собственно говоря, начинается всякий счёт, с течением времени приводят к общему понятию о классе чисел целых и положительных. Их называют натуральными. Натуральные числа допускают упорядочение их по величине, в результате чего образуется последовательность 1,2,3, ..., n, n+1 , .., которую можно продолжать неограниченно. Задачи, связанные с теми или иными разделами арифметики, довольно часто вызывают затруднения у учащихся. Эти трудности объясняются главным образом тем, что арифметика изучается в младших классах, где многие результаты сообщаются без доказательств. Позднее к этим вопросам фактически уже не возвращаются. Приведу пример задания, которое можно предложить более способным ученикам.
Упражнение по таблице умножения. Строим следующую последовательность цифр. Пусть первой цифрой будет 2, следующей 3,
2*3= 6
третьей цифрой последовательности будет 6;
3*6=18
четвёртой цифрой будет 1, а пятой – 8;
6*1=6
1*8=8
шестой цифрой является 6, затем следует цифра 8 и т.д.
Вот последовательность цифр, которую мы получим: 2 3 6 1 8 6 8 . . .
Скобки внизу между цифрами означают выполненные умножения, результаты которых мы вписали как очередные цифры последовательности; например, теперь следовало бы умножить 8 на 6 и вписать цифры результата: 4, 8. Недостатка в множимых цифрах у нас никогда не будет, так как при каждом умножении дужки передвигаются на один шаг, полученный результат, по меньшей мере, однозначен, а часто и двузначен, и поэтому прибавляется одна цифра.
Задание. Доказать, что цифра 5, 7, 9 никогда не появятся в этой последовательности. [5]
В свою очередь, практика измерений заставляет вводить дроби, поскольку совсем не так часто избранная единица измерения размещается на измеряемой величине целое число раз. Применение к натуральным числам арифметических операций, а это в жизни людей происходит миллионы раз, вынуждает понятие числа расширять. Натуральные числа в ходе многолетнего совместного их применения в вычислительной практике порождают представления о новой объединяющей их более широкой числовой области – области рациональных чисел. В арифметике не ограничиваются областью рациональных чисел. В ней оперируют и числами более общей природы, например, с иррациональными числами. Общее понятие иррационального числа появилось, по-видимому, только в конце XVI столетия после введения десятичных дробей, употребление которых получило право гражданства в связи с возникновением логарифмических таблиц. Одна из типичных ошибок учащихся состоит в том, что они часто судят о рациональности и иррациональности некоторого числа просто на основании его «внешнего вида», поэтому при выяснении вопроса о том, является ли некоторое число рациональным или иррациональным, необходимо приводить убедительное обоснование. Именно к решению такого рода вопросов приводит нас некоторые задачи.
Задание. Доказать, что log4 18 - есть иррациональное число. [5]
«Если математика есть царица наук, то теория чисел есть царица математики», - говорил Гаусс.
Модели арифметики пронизывают буквально все области математики. Наиболее тесные связи они имеют с моделями алгебры. Попробую, исходя из материала школьных курсов алгебры, дать понятие о том, какими путями начальные алгебраические представления могут быть развиты до уровня, позволяющего увидеть контуры современной алгебры, почувствовать ее особенности. В самом общем и общеупотребительном смысле под алгеброй понимают ту часть математики, в которой изучают множества с заданными на них алгебраическими операциями. Для алгебры характерны высокая степень абстракции понятий и развита символика. Символы алгебры, как правило, несут значительную смысловую нагрузку, например, на вопрос, верно ли неравенство 2≤3, чаще всего дается ответ: «нет, так как число два меньше числа три». Курс алгебры включает в себя значительное число различных утверждений. Довольно широко распространено мнение, что в геометрии надо рассуждать строго, там есть теоремы, которые требуют аккуратного доказательства, использующего определения, а в алгебре есть только одна теорема – теорема Виета, все же остальное – всякие слова и формулы. Все учащиеся знают формулу для решения квадратного уравнения, но затрудняются решать уравнения с параметром.
Задание. Найдите значения, при которых данное уравнение имеет решение. Найдите знаки корней х2-2(а-1)х+2а+1=0. [4]
Арифметические и алгебраические модели являются и всегда будут являться важной частью профессиональных знаний математика, его умения. Они есть орудие исследования как числовых множеств, так и множеств более общей природы, иначе говоря, орудием исследования количественных по преимуществу отношений реально существующих объектов и явлений.
|
